คณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์ 3

เนื้อหา :

1. เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

เราทราบแล้วว่าเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ในทางคณิตศาสตร์เราบอกขนาดด้วยตัวเลข ส่วนทิศทางเราจะใช้สัญลักษณ์อื่นๆในการบอกทิศทาง ดังนี้

หากเวกเตอร์มีขนาด x หน่วย มีทิศทางไปทางแกน x บวก เราจะใช้สัญลักษณ์ $\vec{x}$

หากเวกเตอร์มีขนาด y หน่วย มีทิศทางไปทางแกน y บวก เราจะใช้สัญลักษณ์ $\vec{y}$

หากเวกเตอร์มีขนาด x หน่วย มีทิศทางไปทางแกน x ลบ เราจะใช้สัญลักษณ์ $-\vec{x}$

หากเวกเตอร์มีขนาด y หน่วย มีทิศทางไปทางแกน y ลบ เราจะใช้สัญลักษณ์ $-\vec{y}$

จากตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นเวกเตอร์ที่อยู่ในแนวขนานกับแกน x หรือ แกน y อย่างใดอย่างหนึ่ง หากเวกเตอร์ทำมุมกับแกน x หรือ แกน y เราจะเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้อย่างไร

สมมติ เวกเตอร์ $\vec{R}$ ทำมุมกับแกน x ด้วยมุม $\theta$ ดังรูปที่ 1

แสดงว่าเวกเตอร์ $\vec{R}$ นี้มีขนาด หรือองค์ประกอบส่วนที่อยู่ในแกน y บางส่วน และแกน x บางส่วน เมื่อเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ จะได้ดังนี้

$\vec{R} = \vec{x} + \vec{y}$

แปลความหมายได้ว่า เวกเตอร์ $\vec{R}$ เกิดจากการนำเวกเตอร์ $\vec{x}$ รวมกับเวกเตอร์ $\vec{y}$ ตามการบวกลบเวกเตอร์ที่เราทราบก่อนหน้านี้ ดังรูปที่ 2 ด้านล่าง

2. การหาขนาดของเวกเตอร์

จากหัวข้อก่อนหน้านี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ลูกศรชี้ไปทางขวาบนตัวอักษร $\vec{}$ แทนทิศทางของเวกเตอร์ ส่วนตัวอักษรแทนขนาดของเวกเตอร์ แต่ในการคำนวณ เราจะมักเขียนอีกรูปแบบหนึ่ง โดยแยกรูปการเขียนออกมาเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่บอกทิศทาง และ ส่วนที่บอกขนาด ดังนี้

การบอกทิศทางของเวกเตอร์

เราจะบอกทิศทางของเวกเตอร์โดยใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย โดยใช้สัญลักษณ์

ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน x บวก จะใช้สัญลักษณ์ $\hat{i}$

ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน x ลบ จะใช้สัญลักษณ์ $-\hat{i}$

ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน y บวก จะใช้สัญลักษณ์ $\hat{j}$

ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน y ลบ จะใช้สัญลักษณ์ $+\hat{j}$

ดังนั้น หากเขียนเวกเตอร์ $\vec{R} = \vec{x} + \vec{y}$ ก่อนหน้านี้ สามารถเขียนอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

$\vec{R} = \vec{x} + \vec{y} = x\hat{i} + y\hat{j}$

จะเห็นว่าการบอกทิศทางและขนาดจะแยกออกเป็นสองส่วน ซึ่งง่ายต่อการที่เราจะนำไปหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไป ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์

ก่อนหน้าเราจะเขียนเวกเตอร์ในรูปสัญลักษณ์ คือ $\vec{R}$ แต่ถ้าจะเขียนสัญลักษณ์ของขนาดเวกเตอร์ R จะเขียนโดยใช้เครื่องหมาย | | ครอบระหว่างสัญลักษณ์เวกเตอร์ใดๆ ได้ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์ $\vec{R}$ เท่ากับ $|\vec{R}|$

ส่วนขนาดของเวกเตอร์จะเป็นไปตามนิยาม ดังนี้ ซึ่งหาจากการใช้ทฤษฎีบทพีธากอรัส ดังรูปที่ 3

$|\vec{R}| = |x\hat{i} + y\hat{j}| = \sqrt{(x^2)(\hat{i}^2)+(y^2)(\hat{j}^2)}$

เมื่อเวกเตอร์ใดๆ คูณด้วยตัวมันเอง หรือเขียนอยู่ในรูปยกกำลังสอง จะทำให้เวกเตอร์นั้นๆ กลายเป็นปริมาณสเกลาร์ที่มีแต่ขนาด แต่เราทราบว่า เวกเตอร์ $\hat{i}, \hat{j}$ เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย ทำให้เทอม $\hat{i}^2, \hat{j}^2$ มีค่าเท่ากับ 1 ไปในทันที ทำให้เราสามารถลดรูปสมการได้ ดังนี้

$|\vec{R}| = \sqrt{x^2+y^2}$

1. เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

2. การหาขนาดของเวกเตอร์

Related posts:

ตรวจพบ Ad Blocker