คณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์ 3

ตรวจพบส่วนเสริม Ad Blocker

เว็บไซต์ของเรา เชื่อในประสบการณ์การรับชมของผู้ชม แต่อย่างไรก็ตามเว็บไซต์ของเราขับเคลื่อนด้วยโฆษณาจากผู้สนับสนุน โปรดพิจารณาละเว้นการบล็อคโฆษณาด้วยส่วนเสริม ad-block | ขอบพระคุณอย่างยิ่งที่ให้การสนับสนุน


1. เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก

      เราทราบแล้วว่าเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ในทางคณิตศาสตร์เราบอกขนาดด้วยตัวเลข ส่วนทิศทางเราจะใช้สัญลักษณ์อื่นๆในการบอกทิศทาง ดังนี้

      หากเวกเตอร์มีขนาด x หน่วย มีทิศทางไปทางแกน x บวก เราจะใช้สัญลักษณ์ \vec{x}

      หากเวกเตอร์มีขนาด y หน่วย มีทิศทางไปทางแกน y บวก เราจะใช้สัญลักษณ์ \vec{y}

      หากเวกเตอร์มีขนาด x หน่วย มีทิศทางไปทางแกน x ลบ เราจะใช้สัญลักษณ์ -\vec{x}

      หากเวกเตอร์มีขนาด y หน่วย มีทิศทางไปทางแกน y ลบ เราจะใช้สัญลักษณ์ -\vec{y}

      จากตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นเวกเตอร์ที่อยู่ในแนวขนานกับแกน x หรือ แกน y อย่างใดอย่างหนึ่ง หากเวกเตอร์ทำมุมกับแกน x หรือ แกน y เราจะเขียนสัญลักษณ์เวกเตอร์ได้อย่างไร

      สมมติ เวกเตอร์ \vec{R} ทำมุมกับแกน x ด้วยมุม \theta ดังรูปที่ 1

      แสดงว่าเวกเตอร์ \vec{R} นี้มีขนาด หรือองค์ประกอบส่วนที่อยู่ในแกน y บางส่วน และแกน x บางส่วน เมื่อเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ จะได้ดังนี้

\vec{R} = \vec{x} + \vec{y}

      แปลความหมายได้ว่า เวกเตอร์ \vec{R} เกิดจากการนำเวกเตอร์ \vec{x} รวมกับเวกเตอร์ \vec{y} ตามการบวกลบเวกเตอร์ที่เราทราบก่อนหน้านี้ ดังรูปที่ 2 ด้านล่าง

2. การหาขนาดของเวกเตอร์

      จากหัวข้อก่อนหน้านี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ลูกศรชี้ไปทางขวาบนตัวอักษร \vec{} แทนทิศทางของเวกเตอร์ ส่วนตัวอักษรแทนขนาดของเวกเตอร์ แต่ในการคำนวณ เราจะมักเขียนอีกรูปแบบหนึ่ง โดยแยกรูปการเขียนออกมาเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่บอกทิศทาง และ ส่วนที่บอกขนาด ดังนี้

      การบอกทิศทางของเวกเตอร์

      เราจะบอกทิศทางของเวกเตอร์โดยใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (unit vector) หมายถึง เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย โดยใช้สัญลักษณ์ 

      ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน x บวก จะใช้สัญลักษณ์ \hat{i}

      ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน x ลบ จะใช้สัญลักษณ์ -\hat{i}

      ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน y บวก จะใช้สัญลักษณ์ \hat{j}

      ถ้าบอกทิศทางไปทางแกน y ลบ จะใช้สัญลักษณ์ +\hat{j}

      ดังนั้น หากเขียนเวกเตอร์ \vec{R} = \vec{x} + \vec{y} ก่อนหน้านี้ สามารถเขียนอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

\vec{R} = \vec{x} + \vec{y} = x\hat{i} + y\hat{j}

      จะเห็นว่าการบอกทิศทางและขนาดจะแยกออกเป็นสองส่วน ซึ่งง่ายต่อการที่เราจะนำไปหาขนาดของเวกเตอร์ต่อไป ดังนี้

      ขนาดของเวกเตอร์

      ก่อนหน้าเราจะเขียนเวกเตอร์ในรูปสัญลักษณ์ คือ \vec{R} แต่ถ้าจะเขียนสัญลักษณ์ของขนาดเวกเตอร์ R จะเขียนโดยใช้เครื่องหมาย | | ครอบระหว่างสัญลักษณ์เวกเตอร์ใดๆ ได้ดังนี้

ขนาดของเวกเตอร์ \vec{R} เท่ากับ |\vec{R}|

     ส่วนขนาดของเวกเตอร์จะเป็นไปตามนิยาม ดังนี้ ซึ่งหาจากการใช้ทฤษฎีบทพีธากอรัส ดังรูปที่ 3

|\vec{R}| = |x\hat{i} + y\hat{j}| = \sqrt{(x^2)(\hat{i}^2)+(y^2)(\hat{j}^2)}

      เมื่อเวกเตอร์ใดๆ คูณด้วยตัวมันเอง หรือเขียนอยู่ในรูปยกกำลังสอง จะทำให้เวกเตอร์นั้นๆ กลายเป็นปริมาณสเกลาร์ที่มีแต่ขนาด แต่เราทราบว่า เวกเตอร์ \hat{i}, \hat{j} เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 1 หน่วย ทำให้เทอม \hat{i}^2, \hat{j}^2 มีค่าเท่ากับ 1 ไปในทันที ทำให้เราสามารถลดรูปสมการได้ ดังนี้

|\vec{R}| = \sqrt{x^2+y^2}
ถ้ารู้สึกว่าบทความนี้อ่านง่ายอ่านคล่อง Share เลยครับ
  • 1
    Share


Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.